淺析FFT算法在電機(jī)保護(hù)系統(tǒng)中的應(yīng)用分析

劉丹

安科瑞電氣股份有限公司 上海嘉定 201801

摘要：微型電機(jī)具有體積小、重量輕、便于控制等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)消費(fèi)等領(lǐng)域.為保證微型電機(jī)的性能滿足使用要求，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的環(huán)節(jié).在傳統(tǒng)的電機(jī)保護(hù)中，信號(hào)處理采用的都是模擬濾波器.與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器具有更高的靈活性和穩(wěn)定性。本文提出一種基于FFT算法的電壓信號(hào)處理方式，利用FFT可以由輸入序列直接計(jì)算出輸入信號(hào)的直流分量以及各次諧波的幅值和相位的特點(diǎn)，大大簡(jiǎn)化了諧波分量的計(jì)算。

關(guān)鍵詞：FFT；電機(jī)保護(hù)；數(shù)字信號(hào)處理

0引言

FFT是一種DFT的高效算法，基本上可分為時(shí)間抽取法和頻率抽取法，把長(zhǎng)序列分為短序列，可在時(shí)域或頻域進(jìn)行。常用的時(shí)域抽取方法是按奇偶將長(zhǎng)序列不斷變?yōu)槎绦蛄校敵鲂蛄袨轫樞蛐蛄校话愕臅r(shí)間抽取法和頻率抽取法處理的長(zhǎng)度只有N=2^M。本文主要研究FFT算法在電力監(jiān)控產(chǎn)品中的應(yīng)用效果，不僅能夠去除諧波干擾，還可以有選擇地單獨(dú)計(jì)算諧波分量，充分利用了FFT的原位性.

1傅里葉算法的原理

快速傅里葉變換(FFT)是離散傅里葉變換(DFT)的一種快速算法，從物理意義上來(lái)看，DFT將時(shí)域的數(shù)字信號(hào)變換成頻域的離散信號(hào)，根據(jù)變換之后的結(jié)果可知時(shí)域數(shù)字信號(hào)在不同頻率上的幅值，確定時(shí)域信號(hào)主要分布在哪些頻段上；從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，ar是將數(shù)字信號(hào)變換到幾個(gè)正交的坐標(biāo)系中。圖1為時(shí)域數(shù)據(jù)的DFT變換。

DFT是連續(xù)傅里葉變換的離散形式。模擬信號(hào)x(t)的連續(xù)傅里葉變換可表示為：

x(t)經(jīng)抽樣后變?yōu)閤(nT),:T為抽樣周期。設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，其DFT為:

由式(2)可以看出計(jì)算所有x(k)大約需要N²次乘法和N(N-1)次加法，運(yùn)算過(guò)程非常復(fù)雜。

一般來(lái)說(shuō)，由于x(n)和W_N^nk都是復(fù)數(shù),X(k)也是復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)際上可以通過(guò)實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)完成，式(2)則可以寫(xiě)成：

仔細(xì)觀察DFT的運(yùn)算，利用系數(shù)W_Nⁿ的以下固有特性，可以減小DFT的運(yùn)算量。

W_Nⁿ的對(duì)稱性為：

W_Nⁿ的周期性為：

由此可以得到：

利用這些特性，DFT運(yùn)算中的有些項(xiàng)就可以合并。由于DFT的運(yùn)算量與N²成正比，所以N越小計(jì)算量越小。

2 FFT算法的應(yīng)用

離散傅里葉變換(DFT)和快速傅里葉變換(FFT)是同種變換。FFT只不過(guò)是利用DFT系數(shù)W_Nⁿ的對(duì)稱性和周期性，可以將長(zhǎng)序列的DFT分解為短序列的DFT,然后再按一定的規(guī)則進(jìn)行合并，從而得到整個(gè)DFT。本文根據(jù)電機(jī)工作時(shí)產(chǎn)生的電壓、電流波形的差異來(lái)區(qū)分正常電機(jī)和故障電機(jī)。要找出這種差異，首先需要獲取正常電機(jī)和不良電機(jī)的電流、電壓信號(hào)數(shù)據(jù)。由于電流信號(hào)難以采集，所以首先通過(guò)I/V轉(zhuǎn)換電路將電流信號(hào)轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)，如圖2所示。

電流信號(hào)轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)之后，信號(hào)的采集、分析和處理過(guò)程如圖3所示。

假設(shè)采集到的電機(jī)工作時(shí)的信號(hào)為一周期性信號(hào)，即輸入的信號(hào)中除基波外，只包含恒定的直流分量和各種整次諧波分量。此時(shí)電流輸入信號(hào)可以表示為:

其中，a₀、a_k、b_k為傅里葉系數(shù)

由數(shù)學(xué)定理可知周期函數(shù)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù):

其中，式(7)和式(11)的各系數(shù)之間還有以下關(guān)系:

當(dāng)采集到電壓信號(hào)后，A_km和φ_k分別對(duì)應(yīng)電壓的k次諧波的幅值A_kmk次諧波的相位φ，由此可以計(jì)算出電壓的k次諧波的值。得出系數(shù)之間的關(guān)系后還可以得到k次諧波的有功功率P_k、無(wú)功功率Q_k和視在功率S_k.

同時(shí)可以計(jì)算出k次諧波的電壓含有率HRU_k ：

同理得到電壓的諧波總失真度THD_U：

3基2時(shí)間抽取FFT算法的分析

設(shè)序列x[k]的長(zhǎng)度為用N=2^M為正整數(shù)，M為正整數(shù)，長(zhǎng)度不滿足該條件，可通過(guò)補(bǔ)0的方法使序列x[k]滿足該條件。對(duì)長(zhǎng)度為N的序列x[k]進(jìn)行時(shí)間抽取，將其分解為兩個(gè)

長(zhǎng)度為N/2點(diǎn)的序列 ，分別為 ：

其中，x₁[k]是序列中偶數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的序列，x₂[k]是序列中奇數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的序列。

對(duì)x[k]進(jìn)行DFT得：

由于旋轉(zhuǎn)因子W_Nⁿ擁有式(4)、式(5)和式(6)的特性,因此：

綜上所述，可以表示為：

將式(22)和式(23)合并即可得到序列x[k]的DFT。蝶形計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖4所示。

基2時(shí)間抽取FFT運(yùn)算流圖(N=8)如圖5所示。

4仿真結(jié)果

實(shí)際中常常會(huì)遇到要求兩個(gè)序列的線性卷積，如一個(gè)信號(hào)序列x(n)通過(guò)FIR濾波器時(shí)，其輸出y(n)應(yīng)是x(h)與h(n)的卷積：

有限長(zhǎng)序列x(n)與h(n)的卷積結(jié)果y(n)也是一個(gè)有限長(zhǎng)序列。假設(shè)x(n)和h(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2,則y(n)的長(zhǎng)度為N1+N2-1。若通過(guò)補(bǔ)0使x(n)和h(n)都加長(zhǎng)到N點(diǎn),就可以用圓周卷積計(jì)算線性卷積。這樣得到用FFT運(yùn)算來(lái)求y(n)值(快速卷積)的步驟如下。

(1) 對(duì)序列x(n)和h(n)補(bǔ)0至長(zhǎng)為N,使得N≥N1+N2-1,,并且N=2^M(M為整數(shù))，即：

(2)用FFT計(jì)算x(n)與h(n)的離散傅里葉變換:

(3)計(jì)算XQ=X(QH(Q。

(4)用IFFT計(jì)算Y(k)的離散傅里葉反變換得：

例如，運(yùn)用FFT實(shí)現(xiàn)序列x(n)=sin(0.4n),1≤n≤15與序列y(n)=0.9ⁿ,1≤n≤20之間的快速卷積，并測(cè)試直接卷積與快速卷積的時(shí)間，得到的卷積結(jié)果如圖6所示。其中，運(yùn)用快速卷積的時(shí)間為0.000033秒，運(yùn)用直接卷積的時(shí)間為0.000049秒。很明顯，運(yùn)用FFT的快速卷積運(yùn)算速度上優(yōu)于宜接卷積。

5.安科瑞智能電動(dòng)機(jī)保護(hù)器介紹

5.1產(chǎn)品介紹

智能電動(dòng)機(jī)保護(hù)器(以下簡(jiǎn)稱保護(hù)器)，采用單片機(jī)技術(shù)，具有抗干擾能力強(qiáng)、工作穩(wěn)定可靠、數(shù)字化、智能化、網(wǎng)絡(luò)化等特點(diǎn)。保護(hù)器能對(duì)電動(dòng)機(jī)運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)的過(guò)載、斷相、不平衡、欠載、接地/漏電、堵轉(zhuǎn)、阻塞、外部故障等多種情況進(jìn)行保護(hù)，并設(shè)有SOE故障事件記錄功能，方便現(xiàn)場(chǎng)維護(hù)人員查找故障原因。適用于煤礦、石化、冶煉、電力、以及民用建筑等領(lǐng)域。本保護(hù)器具有RS485遠(yuǎn)程通訊接口，DC4-20mA模擬量輸出，方便與PLC、PC等控制機(jī)組成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。實(shí)現(xiàn)電動(dòng)機(jī)運(yùn)行的遠(yuǎn)程監(jiān)控。

5.2技術(shù)參數(shù)

5.2.1數(shù)字式電動(dòng)機(jī)保護(hù)器

5.2.2模塊式電動(dòng)機(jī)保護(hù)器

5.3產(chǎn)品選型

6 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一種由DFT優(yōu)化演變而來(lái)的FFT算法，與傳統(tǒng)方法相比，該算法具有高效的運(yùn)算效率，為信號(hào)處理提供了良好的條件。仿真結(jié)果證明，該算法能夠減少信號(hào)處理所需的時(shí)間，可以直接計(jì)算出電壓信號(hào)的直流分量以及各次諧波的幅值和相位，便于分析諧波的分量，有利于繼電器及時(shí)做出斷電的決策。

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